INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS: ANÁLISE DO MOVIMENTO DO VÉRTICE DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Resumo

Este resumo trata de investigações matemáticas que foram realizadas a partir da descrição do movimento do vértice de uma família de funções do segundo grau dada por f(x)= ax² +bx +c, onde a, b e c ∈  R , e a≠0, quando fixamos dois parâmetros e variamos o terceiro.  Desse modo, este trabalho tem como objetivo relatar uma experiência desenvolvida no Componente Curricular de Laboratório de Educação Matemática e Docência III da quinta fase do Curso de Matemática – Licenciatura da Universidade Federal da Fronteira Sul.  Uma investigação matemática, de acordo com João Pedro da Ponte, desenvolve-se em torno de um problema e perpassa por diferentes momentos: reconhecimento da situação e exploração, elaboração e teste de hipóteses, generalização e construção de argumentos e demonstrações. Dessa forma, a partir do problema proposto que consistiu em investigar o movimento do vértice de uma família de funções do segundo grau, passamos à atividade exploratória. Para tal, 1) fixamos os parâmetros a e b e variamos o parâmetro c; 2) fixamos os parâmetros b e c e variamos o parâmetro a; 3) fixamos os coeficientes a e c e variamos o coeficiente b. Nesse movimento utilizamos o software GeoGebra, que é um software de geometria dinâmica e álgebra, para facilitar a visualização do rastro que o vértice deixava quando um dos parâmetros da função se movia. Essa visualização foi fundamental para a elaboração e teste de hipóteses. Assim, encontramos famílias de funções particulares dependendo dos coeficientes fixados. Então fomos desafiados a estabelecer uma relação entre a função quadrática inicial e as funções geradas pelo movimento do vértice, num movimento de generalização e demonstração. Os resultados obtidos foram: quando fixamos os parâmetros b e c e variamos o parâmetro a há uma variação na concavidade da função. Quando |a|<1, reconhecemos que, conforme o coeficiente a se aproxima de 0, a parábola fica “mais aberta”. Quando |a|>1, a parábola fica “mais fechada”. Nesse caso, a função h(x) =(b/2)x +c é a curva que descreve o movimento do vértice. Quando fixamos os coeficientes a e b, e variamos o coeficiente c, podemos descrever o movimento do vértice pela reta x = x_v = -b/2a . Quando fixamos os valores dos coeficientes a e c, e variamos o valor do coeficiente b, o movimento do vértice dessa família de funções pode ser descrito por uma parábola, a qual é simétrica à parábola original e descrita por g(x)=-ax²+c.  A generalização encontrada finaliza o processo de investigação matemática. A partir disso, podemos observar que o estudo possibilitou observar padrões no movimento do vértice de funções quadráticas, promovendo a construção de hipóteses e argumentos matemáticos e destacando o potencial do GeoGebra como ferramenta essencial na exploração do problema.