ELIPSES DE CURVATURA DE SUPERFÍCIES DE TRANSLAÇÃO IMERSAS EM IR(n), n≥4

Resumo

1 Introdução

O presente trabalho é parte integrante do projeto de pesquisa Caracterização da geometria local de 3-variedades imersas em IR⁶ por meio de seus projetivos de curvatura, aprovado no Edital Nº 281/UFFS/2015.

Dada uma superfície M imersa em IRⁿ, n≥4, para cada ponto p ∈ M podemos definir uma elipse associada a p no subespaço normal a M em p, N_pM , denominada elipse de curvatura de M em p, definida como sendo o lugar geométrico de todos os extremos dos vetores curvatura de seções normais ao longo de todas as direções tangentes a M em p.

O conceito de elipse de curvatura foi utilizado por Little (1969) para a caracterização de propriedades geométricas de superfícies em IR⁴. Este conceito também foi estudado por Moraes (2002) para superfícies imersas em IRⁿ, n≥5, onde foram estabelecidas novas expressões que podem ser obtidas para parametrizações quaisquer da imersão da superfície.

De acordo com Moraes (2002) uma expressão para a elipse de curvatura em um ponto q de M pode ser dada por φ(θ) = H + B cos(2θ) + C sen(2θ),    com  0≤ θ ≤ 2π.

Dependendo da linearidade dos vetores H, B e C, obtemos a natureza da elipse de curvatura que pode ser uma elipse, um segmento de reta ou um ponto.

Além disso, nos pontos de M que esta elipse se degenerar em um segmento temos os pontos semiumbílicos de M e naqueles que ela se degenerar em um ponto temos os pontos umbílicos de M.

2 Objetivo

O trabalho tem como objetivo descrever os diversos tipos de elipses de curvatura associadas a superfícies de translação imersas em  IRⁿ, n≥4, a fim de estudar as propriedades locais destas superfícies considerando o tipo de ponto semiumbílico e umbílico, e o contato destas superfícies com hiperplanos de  IRⁿ, n≥4.

3 Metodologia

Este trabalho foi realizado por meio de pesquisa bibliográfica com o uso dos softwares GeoGebra e Mathematica como ferramenta de apoio para facilitar os cálculos matemáticos.

4 Resultados e Discussão

Dadas duas curvas regulares α,β : S¹ →  IRⁿ, n≥4, de classe C², parametrizadas pelos seus respectivos comprimentos de arco, a superfície de translação associada a α e β é dada pela imagem da imersão f : S¹ x S¹ → IRⁿ , f(s,t)=1/2  (α(s)+β(t)).

A elipse de curvatura de uma superfície de translação em q = f(s,t)≡(0,0,0,...,0) pode ser definida por φ(θ)=  1/((1-ω²))[(α''(s))^N+(β''(t))^N]+1/((1-ω²))[(1-2ω²)(α''(s))^N-(β''(t))^N]cos⁡(2θ)-2ω/√(1-ω²)[(α''(s))^N]sen(2θ), sendo ω=< α'(s),β'(t) >   o produto escalar e os vetores (α´´(s))^N e  (β´´(t))^N as componentes normais de α´´(s)e  β´´(t), respectivamente.

Observamos que, quando as curvas α e β  estão em subespaços ortogonais de IRⁿ, a elipse de curvatura da superfície de translação sempre se degenera em todos os seus pontos.

Para o caso geral, obtivemos a seguinte proposição:

Proposição 1: A elipse de curvatura em f(s,t) não se degenera se, e somente os vetores (α´´(s))^N e (β´´(t))^N são linearmente independentes, ou seja, < α' (s),β' (t) > ≠ 0.

A proposição 2 apresenta os casos degenerados.

Proposição 2: Dada uma superfície de translação imersa em IRⁿ, n≥4, temos que:

i) A elipse de curvatura em q se degenera  num segmento não  radial  se,  e   somente se, < α' (s),β' (t) >=0 e os vetores (α´´(s))^N e (β´´(t))^N são linearmente independentes.

ii) Se <α'(s),β'(t)>=0, a elipse de curvatura em q se  degenera num  segmento  radial se, e somente se, os vetores (α´´(s))^N e (β´´(t))^N são linearmente dependentes e distintos.  Quando um deles é nulo o ponto q é extremo do segmento radial que determina a elipse de curvatura.

Porém, se  < α' (s),β' (t) > ≠ 0, a elipse se degenera num segmento radial se, e somente se, os vetores (α´´(s))^N e (β´´(t))^N são linearmente dependentes com somente um deles não nulo. Neste caso, o ponto  é extremo do segmento radial que determina a elipse de curvatura se, e somente se, (α´´(s))^N = 0 e (β´´(t))^N ≠ 0, ou (β´´(t))^N = 0,  (α´´(s))^N ≠ 0    e  < α'(s),β'(t) > =±√2/2.

iii) A elipse de curvatura em q se degenera num ponto diferente da origem q se, e somente se,  (α´´(s))^N = (β´´(t))^N ≠ 0 e < α'(s),β'(t) > = 0.

Ela é a própria origem q se, e somente se, (α´´(s))^N = (β´´(t))^N = 0.

A fim de analisar a geometria local das superfícies de translação podemos considerar o cone das direções degeneradas destas superfícies a partir da elipse da curvatura.

O cone das direções degeneradas no ponto q=f(s,t) é o conjunto de todas as direções normais degeneradas μ, cuja matriz Hessiana da função altura associada a imersão f, na direção μ tem coposto 1.

Seja q=f(p)≡ (0,...0) e f_u= <f(p),μ> a  função altura associada a imersão f na direção normal μ≠0.

Seja N_pM o espaço das direções normais da superfície de translação M em q. Dizemos que μ∈N_pM é uma direção degenerada em p=(s,t) se, e somente se, <α”(s),μ> .<β”(t),μ> =0.

O cone das direções degeneradas de coposto 1, em  q é dado por:

C_q={ μ / <α",μ> .<β",μ> =0 e (<α",μ>²+ <β",μ>²)≠0 }.

A condição <α”,μ> .<β”,μ> =0 é equivalente a μ∈C_q ou μ  pertencer ao complemento ortogonal do primeiro espaço normal de M em q, onde o primeiro espaço normal de M em q, denotado por N_q¹M, é o espaço gerado por (α´´(s))^N e (β´´(t))^N.

Como resultado obtemos:

Proposição 3: Dada a superfície de translação M imersa em IRⁿ, n≥4, temos que:

i) Se a elipse de curvatura em  q não se degenera ou se degenera num segmento não radial, então C_q é um par de retas concorrentes no plano N_q¹M.

ii) Se a elipse de curvatura em  q se degenera num segmento radial com extremo em q então C_q é a reta N_q¹M.

iii) Se a elipse de curvatura em  q se degenera num segmento radial com q não sendo extremo deste segmento ou se ela degenera num ponto diferente da origem  q, então C_q é o conjunto vazio.

iv) Se a elipse de curvatura em  q é a própria origem q então C_q é o conjunto vazio e todas as direções degeneradas são de coposto 2.

5 Conclusão

A partir desta análise concluímos que em caso de superfícies de translação, dependendo de sua natureza é possível encontrar todos os tipos de elipses de curvatura. E neste caso, pode haver a incidência de pontos não semiumbílicos, semiumbílicos e umbílicos.

Além disso, a partir do cone das direções degeneradas é possível descrever localmente a geometria local dessas superfícies.